Question

10．已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x₀＜x₁＜…＜x_n-1＜x_n=b，和式$\sum_{i=1}^{n}$|f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₁+a₂+…+a_n；
（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[-$\frac{π}{2}，0$]上是“绝对差有界函数”；
（2）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]=[1，2]时，判断g（x）=$\sqrt{x}$是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；
（3）证明函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xcos\frac{π}{2x}}&{0＜x≤1}\\{0}&{x=0}\end{array}\right.$不是[0，1]上的“绝对差有界函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数在[-$\frac{π}{2}$，0]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足“绝对差有界函数”的定义；
（2）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义即可．
（3）举例说明函数f（x）对于和式$\sum_{i=1}^{n}|f（{x}_{i}）-f（{x}_{i-1}）|$=$\sum_{i=1}^{n}$[$\frac{1}{2•（2i+1）}$+$\frac{1}{2•2i}$]≤M不成立即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）在[-$\frac{π}{2}$，0]上是增函数，
∴对任意划分f（x_n）＞f（x_n-1），
∴|f（x_i）-f（x_i-1）|=f（x₁）-f（x₀）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=f（0）-f（-$\frac{π}{2}$）=2；
取常数M≥2，则和式$\sum_{i=1}^{n}|f（{x}_{i}）-f（{x}_{i-1}）|$≤M恒成立，
∴函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上是“绝对差有界函数”；
（2））∵存在常数k，使得对于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|，
∴$\sum_{i=1}^{n}$|f（x_i）-f（x_i-1）|≤$\sum_{i=1}^{n}$|x_i-x_i-1|=k（b-a）；
故存在常数M=k（b-a），使得$\sum_{i=1}^{n}$|f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”；
若g（x）=$\sqrt{x}$，
则|g（x₁）-g（x₂）|=|$\sqrt{{x}_{1}}$-$\sqrt{{x}_{2}}$|=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$，
∵[a，b]=[1，2]，
∴1≤x₁≤2，1≤x₂≤2，
1≤$\sqrt{{x}_{1}}$≤$\sqrt{2}$，1≤$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$，
则2≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤2$\sqrt{2}$，
则$\frac{1}{2\sqrt{2}}$≤$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}+\sqrt{{x}_{2}}}}$≤$\frac{1}{2}$，
则|g（x₁）-g（x₂）|=|$\sqrt{{x}_{1}}$-$\sqrt{{x}_{2}}$|=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$≤$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|，
∴当k≥$\frac{1}{2}$时，|g（x₁）-g（x₂）|≤k|x₁-x₂|恒成立，
故g（x）=$\sqrt{x}$在集合A中，k的最小值是$\frac{1}{2}$．
（3）证明：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xcos\frac{π}{2x}，0＜x≤1}\\{0；x=0}\end{array}\right.$，
令x_i=$\frac{1}{2（2i+1）}$，x_i-1=$\frac{1}{2•2i}$，i∈N^*，
则f（x_i）-f（x_j）=-$\frac{1}{2•（2i+1）}$-$\frac{1}{2•2i}$；
∴和式$\sum_{i=1}^{n}|f（{x}_{i}）-f（{x}_{i-1}）|$=$\sum_{i=1}^{n}$[$\frac{1}{2•（2i+1）}$+$\frac{1}{2•2i}$]≤M不成立，
故函数f（x）不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；

点评 本题以新定义函数为载体，考查不等式恒成立问题，考查了对新定义的理解与应用问题，是较难的题目，判断一个函数是否是“绝对差有界函数”，关键是求出函数差的连和，找出M的值．