Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知$c=\sqrt{6}，C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）若$a=\sqrt{2}$，求b；
（Ⅱ）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）使用余弦定理列方程解出b；
（II）由sinB=2sinA得b=2a，代入余弦定理公式求出a，继而得出b，由面积公式S=$\frac{1}{2}absinC$求出面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即$cos\frac{2}{3}π=\frac{{{{（\sqrt{2}）}^2}+{b^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}}{{2•\sqrt{2}•b}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得$b=-2\sqrt{2}$（舍去）或$b=\sqrt{2}$．
∴$b=\sqrt{2}$．
（Ⅱ）∵sinB=2sinA，∴b=2a，
又$cos\frac{2}{3}π=\frac{{{a^2}+{b^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}}{2•a•b}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{a^2}+4{a^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}}{{4{a^2}}}=-\frac{1}{2}$，
解得${a^2}=\frac{6}{7}$．∴a=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}×\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题．