Question

9．已知$|\overrightarrow a|=2\;，\;|\overrightarrow b|=3$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°．
（Ⅰ）求$（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}）$的值；
（Ⅱ）当实数x为何值时，$x\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$垂直？

Answer 1

分析 （I）根据平面向量数量积的运算律计算；
（II）令（$x\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$）=0，列方程解出x．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|•cos120°=-3$，${\overrightarrow a^2}={|{\overrightarrow a}|^2}=4$，${\overrightarrow b^2}={|{\overrightarrow b}|^2}=9$，
∴$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）=2{\overrightarrow a^2}+5\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{\overrightarrow b^2}=8-15-27=-34$．
（Ⅱ）∵（$x\overrightarrow a-\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$），
∴$（x\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）=x{\overrightarrow a^2}+（3x-1）\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{\overrightarrow b^2}$=0，
即4x-3（3x-1）-27=0，
解得$x=-\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．