Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意0＜x₁＜x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，若关于x的不等式f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0的解集中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．

Answer 1

分析 由条件和函数单调性的定义，判断出f（x）在（0，+∞）上的单调性，根据奇函数的性质和单调性列出不等式组，由题意求出实数m的取值范围．

解答 解：∵对任意0＜x₁＜x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0为：f（x²-2mx+m+1）＜f（1-x²），
∴x²-2mx+m+1＜1-x²，则2x²-2mx+m＜0，
则△=4m²-4×2×m=4m（m-2）＞0，得m＜0或m＞2，
解得$\frac{m-\sqrt{m（m-2）}}{2}$＜x＜$\frac{m+\sqrt{m（m-2）}}{2}$，
∵f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0的解集中恰好有两个整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{m（m-2）}＞1}\\{\sqrt{m（m-2）}＜3}\\{m＞2或m＜0}\end{array}\right.$，解得$1-\sqrt{10}＜m＜1-\sqrt{2}$或$1+\sqrt{2}＜m＜1+\sqrt{10}$，
∴实数m的取值范围是$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．
故答案为：$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．

点评 本题考查了函数单调性的定义，奇函数的性质，考查化简、计算能力，以及转化思想，属于中档题．