Question

4．在数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，n=1，2，3，…
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n=1，2，3，…；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，得到一个关于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我们不难根据a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，得到一个关于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知条件进行验证，可得结果．
（3）我们可以根据已知条件中数列的形式，构造出满足条件的无穷数列，然后再结合数列的通项公式进行证明．

解答 解：（1）由题意得a_n+1=a_n=a，
又知a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，
∴a=$\frac{5a-6}{a}$，得a=2或a=3，符合题意．
（2）设a_n+1＞a_n，即$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$＞a_n，解得a_n＜0或2＜a_n＜3，
∴要使a₂＞a₁成立，则a₁＜0或2＜a₁＜3，
①当a₁＜0时，a₂=$\frac{5{a}_{1}-6}{{a}_{1}}$=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$＞5，
而a₃-a₂=$\frac{5{a}_{2}-6}{{a}_{2}}$-a₂=-$\frac{（{a}_{2}-3）（{a}_{2}-2）}{{a}_{2}}$＜0，
即a₃＜a₂，不满足题意．
②当2＜a₁＜3时，
a₂=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$∈（2，3），a₃=5-$\frac{6}{{a}_{2}}$∈（2，3），
∴a_n∈（2，3），
此时a_n+1-a_n=-$\frac{（{a}_{n}-3）（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}}$＞0，
∴a_n+1＞a_n，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{b_n}：b₁=$\frac{3}{2}$，b_n+1=$\frac{6}{5-{b}_{n}}$
下面证明满足要求．
此时b_n=5-$\frac{6}{{b}_{n+1}}$，不妨设a取b_n，
那么a₂=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$=5-$\frac{6}{{b}_{n}}$=b_n-1，a₃=5-$\frac{6}{{a}_{2}}$=5-$\frac{6}{{b}_{n-1}}$=b_n-2，
a_n=5-$\frac{6}{{a}_{n-1}}$=5-$\frac{6}{{b}_{2}}$=b₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=5-$\frac{6}{{a}_{n}}$=5-$\frac{6}{{b}_{1}}$=1，
由b₁=$\frac{3}{2}$＜2，
可得b_n+1=$\frac{6}{5-{b}_{n}}$＜2，
∵b_n+1-b_n=$\frac{6}{5-{b}_{n}}$-b_n=$\frac{（{b}_{n}-2）（{b}_{n}-3）}{5-{b}_{n}}$＞0
∴b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，
∴数列{b_n}是无穷数列，
因此构造的数列{b_n}符合题意．

点评 本题考查了数列的递推公式，不等式的解法，即数列的函数的特征，关键是转化，属于中档题．