Question

16．设数列{a_n}的前n项和是S_n，若点A_n（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函数f（x）=-x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a₁=3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，再利用递推关系即可得出．
（2）b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$=a_-2n+5=4n-5．可知：n=1时，b₁=-1＜0；n≥2时，b_n＞0．即可得出．

解答 解：（1）∵点A_n（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函数f（x）=-x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a₁=3（n∈N^*）．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，
∴n=1时，a₁=S₁=-1+c=3，解得c=4．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，n=1时也成立．
∴a_n=-2n+5．
（2）b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$=a_-2n+5=-2（-2n+5）+5=4n-5．
∴n=1时，b₁=-1＜0；
n≥2时，b_n＞0．
因此，当n=1时，数列{b_n}的前n项和T_n取得最小值-1．

点评 本题考查了递推关系、函数的性质、数列的单调性、数列前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．