Question

5．已知不等式a•4^x-1-2^x+a＞0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＜1
• B． a＞1
• C． 0＜a＜1
• D． a＞1或a＜0

Answer 1

分析 由题意可得a＞$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$恒成立，设t=2^x（t＞0），则y=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，运用基本不等式即可得到所求最大值，进而得到a的范围．

解答 解：不等式a•4^x-1-2^x+a＞0对任意x∈R恒成立，即为a＞$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$恒成立，
设t=2^x（t＞0），
则y=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x-1}+1}$=$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$，
由t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，
当且仅当t=2，即x=1时，取得等号．
即有函数y取得最大值1．
可得a＞1．
故选：B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，运用指数函数的值域和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．