Question

10．已知a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则数列{a_n}的通项为a_n=$\frac{1}{3n-2}$．

Answer 1

分析 将递推关系通过取倒数变形，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，进一步求出a_n．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
即3a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，

点评 本题考查通过构造新数列求数列的通项、等差数列的通项公式．