Question

15．若cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$＜0恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，利用同角三角形函数关系，可将函数的解析式化为f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-$\frac{3}{2}$
的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三种情况，讨论函数的最大值，最后汇总讨论结果，即可得到答案．

解答 解：设f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，
要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$=1-sin²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$=-（sinθ-m）²+m²-$\frac{3}{2}$
∴当-1≤m≤1时，函数的最大值为m²-$\frac{3}{2}$＜0，解得-1＜m≤1；
当m＞1时，函数的最大值为f（1）=2m-$\frac{5}{2}$＜0，解得1＜m＜$\frac{5}{4}$
当m＜-1时，函数的最大值为f（-1）=-2m-$\frac{5}{2}$＜0，-$\frac{5}{4}$＜m＜-1，
综上得m的取值范围是m∈（-$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$）

点评 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．