Question

4．等差数列{a_n}中，a_n+1＞a_n（n∈N），a₂，a₄为方程x²-10x+21=0的两根，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和T_n=3ⁿ+c（c为常数）．
（1）求c的值；
（2）证明：对任意n∈N^*，S_n-T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列{b_n}的前n项和T_n=3ⁿ+c，得到T_n-1=3^n-1+c，求出b_n=2•3^n-1．继而求出T_n=3ⁿ-1，问题得以解决，
（2）a₂，a₄为方程x²-10x+21=（x-3）（x-7）=0的两根，得到a₂=3，a₄=7，求出S_n，继而得到S_n-T_n=n²-3ⁿ+1，由函数的性质可知n²-3ⁿ＜0，对于n∈N^*恒成立，问题得以证明．

解答 解：（1）等比数列{b_n}的前n项和T_n=3ⁿ+c，
∴T_n-1=3^n-1+c，
∴b_n=T_n-T_n-1=2•3^n-1．
∴b₁=2，q=3，
∴T_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1，
∴c=-1，
（2）等差数列{a_n}中，a_n+1＞a_n（n∈N），a₂，a₄为方程x²-10x+21=（x-3）（x-7）=0的两根，
∴a₂=3，a₄=7，
∴d=2，a₁=1，
∴S_n=1+3+5+…+2n-1=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴S_n-T_n=n²-3ⁿ+1＜1．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，以及数列的函数特征，属于中档题．