Question

12．已知△ABC的面积为1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，求△ABC外接圆的面积以及△ABC的各边长．

Answer 1

分析 由题意和三角函数公式可得sinB，cosB，sinC，cosC及sinA的值，再由三角形ABC的面积为1，分别解方程可得a，b，c，由正弦定理可得外接圆半径，可得面积．

解答 解：∵在△ABC中tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，
∴由同角三角函数基本关系可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{3}{5}$，
∵三角形ABC的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{sinA}$=1，解得a=$\sqrt{3}$，
同理可：b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
∵2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴外接圆的面积为πR²=$\frac{25π}{12}$．

点评 本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，属中档题．