Question

6．△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{3}$sinB，a=3c．
（1）分别求tanC和sin2C的值；
（2）若b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简2cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{3}$sinB可求得sin$\frac{B}{2}$，进而求得sinB，利用余弦定理可求得b，c的关系，从而得出cosC，sinC；
（2）利用（1）中的a，b，c之间的关系求出三角形的其他比，代入面积公式求出三角形的面积．

解答 解：（1）∵2cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{3}$sinB=2$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴cosB=cos²$\frac{B}{2}$-sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{3}$．
△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{10{c}^{2}-{b}^{2}}{6{c}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∴b=2$\sqrt{2}c$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{9{c}^{2}+8{c}^{2}-{c}^{2}}{12\sqrt{2}{c}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{1}{3}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
sin2C=2sinCcosC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
（2）由（1）可知b=2$\sqrt{2}$c，∴c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴a=3c=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×1×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．