Question

16．设关于x的方程x²+4mx+4n=0．
（Ⅰ）若m∈{1，2，3}，n∈{0，1，2}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若m、n∈{-2，-1，1，2}，求当方程有实根时，两根异号的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由关于x的方程x²+4mx+4n=0有实根，得m²≥n，由此利用列法法能求出方程有实根的概率．
（Ⅱ）由条件知，在m²≥n的条件下，求n＜0的概率．由此能求出两根异号的概率．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵关于x的方程x²+4mx+4n=0有实根，
∴△=16m²-16n≥0，即m²≥n，
m与n的所有可能结果为9种．…（2分）
为使m²≥n，则当m=3时，n=0，1，2；
当m=2时，n=0，1，2；
当m=1时，n=0，1．共有8种结果．…（4分）
∴方程有实根的概率p₁=$\frac{8}{9}$．
（Ⅱ）由条件知，求在m²≥n的条件下，n＜0的概率．
当m=-2时，n=-2，-1，1，2；
当m=-1时，n=-2，-1，1；
当m=1时，n=-2，-1，1；
当m=2时，n=-2，-1，1，2．
共有14种结果．…（9分）其中使n为负数的，只的8种情况，
故两根异号的概率p₂=$\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．