Question

8．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．
（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由．
（2）求|AC|+|BD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，从而得到四边形ABCD不可能成为平行四边形．
（2）当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y=k（x-1），与椭圆联立，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、弦长公式得到|AC|+|BD|≥$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，当直线AC的斜率不存在或直线AC的斜率为0时，|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$．由此能求出|AC|+|BD|的最小值为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

解答 解：（1）四边形ABCD不可能成为平行四边形，理由如下：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，
∴AC与BD在点F处互相平分，又F的坐标为（1，0），
∴y₁+y₂=0，
由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，
由题意知这时ABCD不是平行四边形，
∴四边形ABCD不可能成为平行四边形．
（2）当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y=k（x-1），k≠0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AC|=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，同理，得|BD|=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，
∴|AC|+|BD|=6$\sqrt{2}$×$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}$，
令k²+1=t，则S=$\frac{6\sqrt{2}t}{2{t}^{2}+t-1}$≥$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
当直线AC的斜率不存在时，|AC|=$\sqrt{2}$，|BD|=2$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$；
当直线AC的斜率为0时，|AC|=2$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$．
∵3$\sqrt{2}≥\frac{8\sqrt{2}}{3}$，∴|AC|+|BD|的最小值为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查四边形是否能为平行四边形的判断与证明，考查两线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．