Question

3．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₃=4，{a_n}的前3项和为7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，设数列{b_n}的前n项和为S_n．求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤2-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由于a₃=4，{a_n}的前3项和为7．可得${a}_{1}{q}^{2}$=4，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=7，q＞0．解出即可得出．
（2）a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，n=1时，可得b₁=1．当n≥2时，可得：a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，b_n=2n-1．因此数列{b_n}的前n项和为S_n=n²．当n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即可证明．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₃=4，{a_n}的前3项和为7．
∴${a}_{1}{q}^{2}$=4，${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=7，q＞0．
解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）证明：∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3，
∴n=1时，a₁b₁=-2+3，∴b₁=1．
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n-5）2^n-1+3，
可得：a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，
∴b_n=2n-1．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
∴当n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤2-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．