Question

11．已知f（x）=2sin$\frac{x}{2}（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}）+1$
（Ⅰ）若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）$，而由x的范围可以求出x+$\frac{π}{6}$的范围，从而可得出f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（A）=2即可求得A=$\frac{π}{3}$，从而由余弦定理和不等式a²+b²≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（x+\frac{π}{6}）$；
∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$；
∴$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$；
∴$\frac{1}{2}≤sin（x+\frac{π}{6}）≤1$；
∴f（x）的值域为[1，2]；
（Ⅱ）∵f（A）=2，∴$sin（A+\frac{π}{6}）=1$；
在△ABC中，∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$；
∴$cosA=\frac{{{{|{AB}|}^2}+{{|{AC}|}^2}-{{|{BC}|}^2}}}{{2|{AB}||{AC}|}}=\frac{1}{2}$；
∴|AB||AC|=|AB|²+|AC|²-1≥2|AB||AC|-1；
∴|AB||AC|≤1；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|{AB}||{AC}|cosA=\frac{1}{2}|{AB}||{AC}|≤\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 考查二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及余弦定理，已知三角函数值求角，不等式a²+b²≥2ab的运用，数量积的计算公式．