Question

13．已知椭圆的一个焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）圆x²+y²=$\frac{4}{5}$的任一条切线与该椭圆均有两个交点A、B，求证0A⊥0B．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的一个焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出该椭圆的标准方程．
（2）当圆x²+y²=$\frac{4}{5}$的切线斜率不存在时，切线方程为x=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，能推导出OA⊥OB；当圆x²+y²=$\frac{4}{5}$的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，圆心（0，0）到切线的距离d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得5m²=4+4k²，与椭圆联立，得得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能证明OA⊥OB．

解答 解：（1）∵椭圆的一个焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴该椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
证明：（2）当圆x²+y²=$\frac{4}{5}$的切线斜率不存在时，切线方程为x=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或A（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{4}{5}-\frac{4}{5}$=0，∴OA⊥OB．
当圆x²+y²=$\frac{4}{5}$的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，
圆心（0，0）到切线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即5m²=4+4k²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=$（1+{k}^{2}）×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+km×（-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}）$+m²
=$\frac{5{m}^{2}-4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$=0，
∴OA⊥OB．
综上，OA⊥OB．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、韦达定理的合理运用．