Question

3．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$ccosB=\sqrt{3}bsinC$．
（1）若${a^2}sinC=4\sqrt{3}sinA$，求△ABC的面积；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{7}$，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理以及同角三角函数基本关系可得tanB，可得B值，再由正弦定理整体可得ac的值，代入三角形的面积公式计算可得；
（2）由余弦定理可得c值，在△ABD中由余弦定理可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$ccosB=\sqrt{3}bsinC$，
∴由正弦定理可得sinCcosB=$\sqrt{3}$sinBsinC，
约掉sinC可得cosB=$\sqrt{3}$sinB，
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B=$\frac{π}{6}$，
又∵${a^2}sinC=4\sqrt{3}sinA$，
∴a²c=4$\sqrt{3}$a，∴ac=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{3}$；
（2）∵$a=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得7=12+c²-2×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
解关于c的方程可得c=5，或c=1（不满足c＞b，舍去）
∵BC边的中点为D，∴在△ABD中由余弦定理可得：
AD²=（$\sqrt{3}$）²+5²-2×$\sqrt{3}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=13，
开方可得AD的长为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及整体法和三角形的面积公式，属中档题．