Question

14．下列几个命题：
①若函数$f（x）={e^{-{{（x-m）}^2}}}$为偶函数，则m=0；
②若f（x）的定义域为[0，1]，则f（x+2）的定义域为[-2，-1]；
③函数y=log₂（-x+1）+2的图象可由y=log₂（-x-1）-2的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；
④若关于x方程|x²-2x-3|=m有两解，则m=0或m＞4；
其中正确的有①、②、④．

Answer 1

分析 ①判断函数的对称性，利用偶函数的定义和性质进行判断．
②根据复合函数定义域之间的关系进行判断．
③根据函数图象之间的关系进行判断．
④利用数形结合以及一元二次函数的性质进行判断．

解答 解：①若∵函数$f（x）={e^{-{{（x-m）}^2}}}$关于x=m对称，∴若f（x）为偶函数，则m=0；故①正确，
②若f（x）的定义域为[0，1]，由0≤x+2≤1得-2≤x≤-1，即则f（x+2）的定义域为[-2，-1]；故②正确，
③由y=log₂（-x-1）-2的图象向上平移4个单位得到由y=log₂（-x-1）-2+4=log₂（-x-1）+2，然后向左平移2个单位，得到y═log₂[-（x+2）-1]+2=log₂（-x-3）+2，故③错误，
④设f（x）=|x²-2x-3|，作出函数f（-x）的图象如图，若f（x）=m有两解，则m=0或m＞4；故④正确，
故答案为：①、②、④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的定义域，图象，奇偶性的性质，综合考查函数的性质的应用，但难度不大．