Question

2．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点为F（3，0），且双曲线的渐进线与圆（x-3）²+y²=1相切，则该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1..

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，可得c=3b=3，由a，b，c的关系可得a，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：由题意可得c=3，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由双曲线的渐近线与圆（x-3）²+y²=1相切，
可得d=$\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
可得3b=c=3，即b=1，
a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和直线与圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．