Question

8．如图，在直角坐标平面中正方形OACB的边长为1，点P为扇形，OAB的弧$\widehat{AB}$上任意一点，D为OA的中点，E为OB的中点，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{BD}$（x，y∈R），设$\overrightarrow{a}$=（x，y），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值为（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -2
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由条件即可得到${\overrightarrow{AE}}^{2}={\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{5}{4}$，${\overrightarrow{OP}}^{2}=1$，且可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=-1$，从而对$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{BD}$两边平方便可得到$1=\frac{5}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy$，根据x²+y²≥2xy便可得到xy≤2，而由题意可知x，y＜0，$\overrightarrow{OC}=（1，1）$，从而得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}=x+y≤-2\sqrt{xy}$，而$-2\sqrt{xy}≥-2\sqrt{2}$，这样即可求出x+y的最大值，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}$的最大值．

解答 解：根据条件得，${\overrightarrow{AE}}^{2}=\frac{5}{4}，{\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{5}{4}$，${\overrightarrow{OP}}^{2}=1$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$0-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=-1$；
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}=（x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{BD}）^{2}$
=${x}^{2}{\overrightarrow{AE}}^{2}+2xy\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}+{y}^{2}{\overrightarrow{BD}}^{2}$
=$\frac{5}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy$
=1；
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}（2xy+1）≥2xy$；
∴xy≤2；
据题意知，x＜0，y＜0，$\overrightarrow{OC}=（1，1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}=x+y=-[（-x）+（-y）]≤-2\sqrt{xy}$；
由xy≤2得，$\sqrt{xy}≤\sqrt{2}，-2\sqrt{xy}≥-2\sqrt{2}$；
∴$x+y≤-2\sqrt{2}$，当且仅当$x=y=-\sqrt{2}$时取“=”；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{OC}$的最大值为$-2\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 考查直角三角形边的关系，向量减法和数乘的几何意义，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，不等式x²+y²≥2xy和基本不等式的运用，向量数量积的坐标运算，相等向量和向量坐标的概念．