Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x（x≥0）}\\{ln（1-x）（x＜0）}\end{array}\right.$，若|f（x）+4|≥a（x-1），则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，3]
• B． [0，6]
• C． [0，5]
• D． [0，12]

Answer 1

分析 设g（x）=|f（x）+4|，作出函数g（x）和y=a（x-1）的图象，根据不等式恒成立，讨论a的取值范围建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：设g（x）=|f（x）+4|，
则当x≥0时，g（x）=|-x²-3x+4|=|x²+3x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x+4，}&{0≤x≤1}\\{{x}^{2}+3x-4，}&{x＞1}\end{array}\right.$．
当x＜0时，g（x）=|f（x）+4|=|4+ln（1-x）|=4+ln（1-x），此时函数g（x）为减函数，且g（x）＞4，
作出函数g（x）的图象如图，
设y=a（x-1），
若a=0，则|f（x）+4|≥a（x-1），恒成立，
若a＜0，|f（x）+4|≥a（x-1）不恒成立，不满足条件．
若a＞0时，要使|f（x）+4|≥a（x-1），恒成立，
则只需要到x＞1时，y=x²+3x-4与y=a（x-1）相切即可，
由x²+3x-4=a（x-1），即x²+（3-a）x+a-4=0，
则判别式△=（3-a）²-4（a-4）=a²-10a+25=（a-5）²=0，
则a=5，
综上0≤a≤5，
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．