Question

18．己知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，单位圆O的切线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：OA⊥OB；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$，单位圆O的方程为x²+y²=1，当单位圆的切线与x轴垂直时，OA⊥OB．当单位圆的切线与x轴不垂直时，设为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能证明OA⊥OB．
（Ⅱ）由弦长公式求出|AB|，又O到直线AB的距离d=1，由此能求出△OAB面积的最大值．

解答 证明：（Ⅰ）∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，${b}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$，
单位圆O的方程为x²+y²=1，
当单位圆的切线与x轴垂直时，A（1，1），B（1，-1），或A（-1，1），B（-1，-1），
$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=1-1=0，∴OA⊥OB．
当单位圆的切线与x轴不垂直时，设为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
圆心（0，0）到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴m²=k²+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0，
△=36k²m²-4（3k²+1）（3m²-4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（k²+1）•$\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}$+km•$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$+m²
=$\frac{4{m}^{2}-4（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$=0，
∴OA⊥OB．
综上，OA⊥OB．
解：（Ⅱ）|AB|=$\sqrt{（1+k^{2}）[（-\frac{6km}{3{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}]}$=2$\sqrt{\frac{9{k}^{4}+10{k}^{2}+1}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}}$≤2，
又O到直线AB的距离d=1，
∴△OAB面积的最大值S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．

点评 本题考查两直线垂直的证明，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式的合理运用．