Question

9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+4$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0．
（Ⅰ）求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）求三角形ABC的外接圆半径R；
（Ⅲ）若∠APC=60°，求PA+PC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量式和已知数据可得cosB=-cosD，而由余弦定理可得AC²=20-16cosD=52+48cosD，从而可求出cosD=$-\frac{1}{2}$，AC=$2\sqrt{7}$，进而得到$sinB=sinD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）由正弦定理可得$2R=\frac{AC}{sinB}$，带入数据即可求出三角形ABC的外接圆半径R的值；
（Ⅲ）由余弦定理和基本不等式可得PA+PC的一个范围，再由三角形的三边关系可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$3\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}=0$，AB=AD=4，BC=6，CD=2；
∴$3|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|cos∠BAD+$$4|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CD}|cos∠BCD$=3•4•4cos∠BAD+4•6•2cos∠BCD=0；
∴cos∠BAD=-cos∠BCD；
∵0＜∠BAD＜π，0＜∠BCD＜π；
∴∠BAD+∠BCD=π；
∴B+D=π，cosB=-cosD；
∴由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcosD=20-16cosD；
同理得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=52+48cosD；
联立以上两式得，$cosD=-\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{7}$，∴$sinD=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴${S}_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB•BC•sinB+\frac{1}{2}AD•CD•sinD$
=$\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$8\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理得，$2R=\frac{AC}{sinB}=\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$；
∴$R=\frac{2\sqrt{21}}{3}$；
（Ⅲ）在△APC中，$AC=2\sqrt{7}$，∠APC=60°，由余弦定理得：
AC²=28=PA²+PC²-PA•PC
=（PA+PC）²-3PA•PC
$≥（PA+PC）^{2}-3（\frac{PA+PC}{2}）^{2}$=$\frac{（PA+PC）^{2}}{4}$；
∴（PA+PC）²≤16×7；
∴$0＜PA+PC≤4\sqrt{7}$；
又PA+PC$＞AC=2\sqrt{7}$；
∴PA+PC的取值范围为$（2\sqrt{7}，4\sqrt{7}]$．

点评 考查向量数量积的计算公式，正余弦定理，互补两角的余弦值互为相反数，正弦值相等，以及基本不等式的应用，三角形的面积公式，三角形的两边之和大于第三边定理．