Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．
（1）求a_n．
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．n=1时，可得a₂=2．n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．即可得出．
（2）对n分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．
∴n=1时，${a}_{2}•{a}_{1}={2}^{1}$，解得a₂=2．
n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．
∴a_n=a_2k-1=2^k-1=${2}^{\frac{n-1}{2}}$；
a_n=a_2k=2×2^k-1=2^k=${2}^{\frac{n}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（2）当n=2k（k∈N^*）时，
数列{a_n}的前n项和S_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=$\frac{{2}^{k}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$=3（2^k-1）=$3（{2}^{\frac{n}{2}}-1）$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=S_n-1+a_n=$3（{2}^{\frac{n-1}{2}}-1）$+${2}^{\frac{n-1}{2}}$=${2}^{\frac{n+3}{2}}$-3．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（{2}^{\frac{n}{2}}-1），n为偶数}\\{{2}^{\frac{n+3}{2}}-3，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．