Question

9．实系数方程x²+ax+2b=0的两根为x₁，x₂，且0≤x₁≤1≤x₂≤2，则a²-2a+b²-4b+5的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． $\frac{36}{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 由题意可推出a，b 满足的条件，画出约束条件的可行域，结合a²-2a+b²-4b+5=（a-1）²+（b-2）² 的几何意义，求出即可

解答 解：实系数方程x²+ax+2b=0的两根为x₁，x₂，且0≤x₁≤1≤x₂≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a+2b≤0}\\{2b≥0}\\{4+2a+2b≥0}\end{array}\right.$，
∵a²-2a+b²-4b+5=（a-1）²+（b-2）²，
∴其几何意义是，约束条件内的点与B（1，2）连线的距离，画出可行域如图，点A（-1，0）为最优解，
∴当a=-1，b=0时，有最小值，即为4+4=8，
故选：A．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、数形结合的数学思想．还考查线性规划的应用，考查计算能力．注意正确做出约束条件的可行域，是解题的关键．