Question

1．若${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$=$\frac{31}{n+1}$，求（1-2x）²ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 由条件求得2ⁿ⁺¹-1=31，求得n=4，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．

解答 解：∵${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$=$\frac{31}{n+1}$，∴（n+1）（${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$）=31，
∴（n+1）+$\frac{n+1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{n+1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{n+1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$）=${C}_{n+1}^{1}$+${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n+1}^{n+1}$=2ⁿ⁺¹-1=31，
∴n=4，∴（1-2x）²ⁿ =（1-2x）⁸ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r．
再利用二项式系数的性值检验可得，当r=6时，第7项的系数最大为${C}_{8}^{6}$•2⁶=1792，
该项为T₇=1792x⁶．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．