Question

12．求证：1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$=n!-1．

Answer 1

分析 根据A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ对式子进行化简，即可证明1A₁¹+2A₂²+3A₃³+…+nA_nⁿ=n!-1．

解答 证明：∵n${A}_{n}^{n}$=n•n!=（n+1）!-n!=${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$，
∴1•${A}_{1}^{1}$+2${•A}_{2}^{2}$+3${•A}_{3}^{3}$+…+（n-1）${A}_{n-1}^{n-1}$
=（A₂²-A₁¹）+（A₃³-A₂²）+…+（A_nⁿ-A_n-1^n-1）
=A_nⁿ-A₁¹
=n!-1．

点评 本题考查了排列数公式的应用问题，利用公式A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ=nA_nⁿ对式子进行化简是解题的关键，是基础题目．