Question

4．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c-a（cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB）=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和和差角的三角函数可得tanB=$\sqrt{3}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由三角形的内角和可得B+C=$\frac{2π}{3}$，由正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，代入三角形的周长由三角函数的值域可得．

解答 解：（1）∵锐角三角形ABC中c-a（cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB）=0，
∴由正弦定理可得sinC-sinA（cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB）=0，
∴sinC-sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，
∴sin（A+B）-sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，
∴sinAcosB+sinAcosB-sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，
即sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，
约掉sinA变形可得tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{3}$，角A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=2sinB，c=$\frac{asinC}{sinA}$=2sinC，
∴△ABC周长为a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC
=$\sqrt{3}$+2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=$\sqrt{3}$+2sinB+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=$\sqrt{3}$+2sinB+$\sqrt{3}$cosB+sinB
=$\sqrt{3}$+3sinB+$\sqrt{3}$cosB
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤3$\sqrt{3}$，
∴△ABC周长的取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数求最值及和差角的三角函数公式，属中档题．