Question

5．设0＜a＜1，0＜b＜1，曲线C₁：y=e^x+$\sqrt{a}$，C₂：y=x+1+b，则曲线C₁与C₂有交点的概率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求函数的导数，先求出和y=x+1+b平行的切线方程，建立a，b的关系，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：y=e^x+$\sqrt{a}$的导数f′（x）=e^x，和y=x+1+b平行的切线斜率k=f′（x）=1，
即由e^x=1，得x=0，此时f（0）=1+$\sqrt{a}$，即切点坐标为（0，1+$\sqrt{a}$），
对应的切线方程为y-1-$\sqrt{a}$=x，即y=x+1+$\sqrt{a}$，
若曲线C₁与C₂有交点，则1+b≥1+$\sqrt{a}$，即b≥$\sqrt{a}$，
作出对应的不等式如图：
则正方体OABC的面积S=1，阴影部分的面积S=1-∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{a}$da=1-$\frac{2}{3}$a${\;}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{0}^{1}$=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
则曲线C₁与C₂有交点的概率P=$\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，涉及导数的几何意义，利用积分求面积，综合性较强，有一定的难度．