Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，若函数g（x）=（x$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（x$\overrightarrow{b}$）（x∈R）有最小值，则（　　）

• A． $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$
• B． |$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow{b}$|
• C． θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
• D． $θ∈（\frac{π}{2}，π）$

Answer 1

分析 进行数量积的运算便可得出$g（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{x}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}x$，而根据题意可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，由向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线可知$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|＞0$，这样即可得到cosθ＞0，根据向量夹角的范围便可得出θ的范围，从而可找出正确选项．

解答 解：$g（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{x}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}x$；
∵g（x）有最小值；
∴g（x）为二次函数，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ＞0$；
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|＞0$；
∴cosθ＞0；
∴$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
故选：C．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及二次函数的最值问题，不共线向量的概念，向量夹角的范围，以及余弦函数在各象限的符号．