Question

14．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新零点”，若函数g（x）=x，h（x）=2lnx，ϕ（x）=x³-1的“新零点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为γ＞β＞α．

Answer 1

分析 分别对g（x），h（x），ϕ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），ϕ′（x）=ϕ（x），则它们的根分别为α，β，γ，然后分别讨论α，β，γ的取值范围即可．

解答 解：∵g′（x）=1，h′（x）=$\frac{2}{x}$，ϕ′（x）=3x²，
由g（x）=g′（x）得x=1，即
α=1，
由h（x）=h′（x），
得2lnx=$\frac{2}{x}$，即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
设m（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上函数m（x）为增函数，
∵m（1）=0-1＜0，m（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
∴1＜β＜2；
由ϕ（x）=ϕ′（x）得
x³-1=3x²，
即x³-3x²-1=0，
设q（x）=x³-3x²-1，
则q′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由q′（x）＞0得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，
由q′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数单调递递减，
当x=0时，函数取得极大值q（0）=-1＜0，
∵q（3）=3³-3×3²-1=-1＜0，
∴函数q（x）=x³-3x²-1的零点γ＞3，
∴γ＞β＞α．
故答案为 γ＞β＞α

点评 本题主要考查函数零点的大小比较，求函数的导数，建立方程关系，分别判断论α，β，γ的取值范围是解决本题的关键．