Question

2．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）求四面体ABCD的外接球表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（Ⅱ）根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法，通过求两个平面法向量的夹角求二面角．
（Ⅲ）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球，进而求出球的半径，利用球的表面积公式即可计算求解．

解答 解：（I）∵如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又∵AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．   …（4分）
（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，1），F（1，$\sqrt{3}$，0）
平面CDF的法向量为$\overrightarrow{DA}$=（0，0，2），设平面EDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3），
cos＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
所以二面角E-DF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（8分）
（Ⅲ）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球．
设球的半径为R，则2²+2²+（2$\sqrt{3}$）²=（2R）²，
∴R=$\sqrt{5}$．
于是球的表面积S=4πR²=4π×5=20π．       …（12分）

点评 本题主要考查了二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，球的表面积的求法，可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解，属于中档题．