Question

11．已知直线l与双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于A，B两点，且线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程是y=8x-15．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，
两式相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，
M为AB的中点，即有x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
可得直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4×4}{2}$=8，
即有直线AB的方程为y-1=8（x-2），即为8x-y-15=0．
由y=8x-15代入双曲线的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得60x²-240x+229=0，
即有△=240²-4×60×229=240×11＞0，故存在直线AB．
故答案为：y=8x-15．

点评 本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题．