Question

15．如图，在四边形ABCD中，△ACB与∠D互补，cos∠ACB=$\frac{1}{3}$，AC=BC=2$\sqrt{3}$，AB=4AD．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠ACD．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理求出AB；
（2）在△ACD中，使用正弦定理求出．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=16．
∴AB=4．
（2）AD=$\frac{1}{4}AB$=1．
∵∠ACB与∠D互补，∴cosD=-cos∠ACB=-$\frac{1}{3}$．
∴sinD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sinD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，
∴sin∠ACD=$\frac{AD•sinD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题．