Question

6．a，b为正数，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$≤2\sqrt{2}$，（a-b）²=4（ab）³，则a+b=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令s=a+b，t=ab，得到$\frac{\sqrt{2}}{4}$s≤t，由（a-b）²=4（ab）³，可以得到s²-4t=4t³，即可得到s²-4$\sqrt{2}$s+8≤0，解得即可．

解答 解：令s=a+b，t=ab
则由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$≤2\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{4}$s≤t，
由（a-b）²=4（ab）³，得，（a+b）²-4ab=4（ab）³，
∴s²-4t=4t³，
即s²=4t+4t³≥$\sqrt{2}$s+$\frac{\sqrt{2}}{8}$s³，
即s²-4$\sqrt{2}$s+8=（s-2$\sqrt{2}$）²≤0，
解之得s=2$\sqrt{2}$．
则a+b的值等于2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了不等式的应用，关键是换元，以及转化，属于中档题．