Question

18．设数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$，n=1，2，3，…
（1）求证：{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（2）设T_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n=1，2，3…证明：$\sum_{i=1}^{n}$T_i＜$\frac{3}{2}$（其中$\sum_{i=1}^{n}$T_i=T₁+T₂+…+T_n）

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：a_n=4a_n-1+2ⁿ，变形为a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，S_n=$\frac{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}{3}$．于是T_n=$\frac{3×{2}^{n}}{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 证明：（1）∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$，n=1，2，3，…，
∴a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}×{2}^{n}+\frac{2}{3}）$，
化为：a_n=4a_n-1+2ⁿ，变形为a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），
∴{a_n+2ⁿ}是等比数列，首项与公比都为4；
（2）由（1）可得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-{2}^{n}）$-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$=$\frac{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}{3}$．
T_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n}}{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n+1}-3×{2}^{n}+1}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$T_i=$\frac{3}{2}$$[（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）]$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$$＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．