Question

16．已知在数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，且a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n顶和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，且a₁=2．可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$．利用“累乘求积”即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，且a₁=2．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}$•$\frac{1}{3}$•2
=$\frac{4}{n（n+1）}$（n=1时也成立）．
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．
（2）由（1）可得：a_n=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{a_n}的前n顶和S_n=4$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=4$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查了“累乘求积”方法、“累加求和”方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．