Question

1．设x，y，z∈[0，1]，求证：
（1）x（1-y）+y（1-x）≤1；
（2）x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）≤1．

Answer 1

分析 （1）构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]=（2y-1）x+1-y，再计算f（0），f（1），结合f（x）的图象，即可得证；
（2）证法一、构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），再计算f（0），f（1），结合f（x）的图象，即可得证；
证法二、构造边长为1的正三角形ABC，在AB，BC，AC上分别取D，E，F，使得AD=x，BE=z，CF=y，再由S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，运用面积公式计算即可得证

解答 证明：（1）构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]=（2y-1）x+1-y
∵x，y∈[0，1]，
∴f（0）=1-y≥0，
f（1）=y+（y+1-1-y）=y≥0
由于函数f（x）的图象为一条直线，
则有当0≤x≤1，恒有f（x）≥0成立，
故原不等式成立．
（2）证法一：构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]
=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），
∵x，y，z∈[0，1]，
∴f（0）=yz+1-y-z=（1-y）（1-z）≥0，
f（1）=y+z-1+（yz+1-y-z）=yz≥0
由于函数f（x）的图象为一条直线，
则有当0≤x≤1，恒有f（x）≥0成立，
故原不等式成立．
证法二：构造边长为1的正三角形ABC，
在AB，BC，AC上分别取D，E，F，使得AD=x，BE=z，CF=y，
则BD=1-x，CE=1-z，AF=1-y，
由于S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF≤S_△ABC，
即有$\frac{1}{2}$x（1-y）•sin60°+$\frac{1}{2}$z（1-x）•sin60°+$\frac{1}{2}$y（1-z）•sin60°≤$\frac{1}{2}$×1×1×sin60°，
即有x（1-y）+z（1-x）+y（1-z）≤1．
则原不等式成立

点评 本题考查不等式的证明，考查构造法证明不等式的方法：构造函数和构造图形法，考查推理和运算能力，属于中档题．