Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，椭圆C上一动点到右焦点F距离的最大值为2+$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时的直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的短轴长为2，椭圆C上一动点到右焦点F距离的最大值为2+$\sqrt{3}$，列出方程组，由此能求出椭圆C的标准方程
（2）依题意l斜率存在，其方程为y=kx+2，代入椭圆方程，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此入手能够求出△OAB面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，
椭圆C上一动点到右焦点F距离的最大值为2+$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{a+c=2+\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由题意设直线l的方程为y=kx-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，
消去y整理得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△=（-16k）²-4（4k²+1）×12=4（4k²-3），
由△＞0，得4k²-3＞0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12}{4{k}^{2}+1}$．②
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{16k}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{12}{4{k}^{2}+1}]}$，③
原点到直线l距离为d=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，④
由面积公式及③④得
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×|AB|d
=4$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-3}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-3}{（4{k}^{2}-3）^{2}+8（4{k}^{2}-3）+16}}$
=4$\sqrt{\frac{1}{4{k}^{2}-3+8+\frac{16}{4{k}^{2}-3}}}$≤4$\sqrt{\frac{1}{16}}$=1，
当且仅当 4k2-3=$\frac{16}{4{k}^{2}-3}$，即4k²-3=4时，等号成立．
此时S_△OAB最大值为1．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是中档题．