Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}，sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设D为AC的中点，S_△ABC=8$\sqrt{5}$，求中线BD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积可得，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，即A=B，根据诱导公式求解即可．
（Ⅱ）利用面积公式，以及余弦定理求解即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}，sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
得（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$）（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$）=|$\overrightarrow{AC}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴A=B，A与B都是锐角，
∴cosA=$\frac{2}{3}$，
∴sinC=sin（π-2A）=sin（2A）=2sinAcosA=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$；
（Ⅱ）由S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{5}}{9}$a²=8$\sqrt{5}$，
∴a=b=6，
∴CD=3，BC=6，
又cosC=cos（π-2A）=-cos2A=-（1-2sin²A）=$\frac{1}{9}$，
在△BCD中，由余弦定理可得，BD²=CD²-2CD•BCcosC=3²+6²-2×3×6×$\frac{1}{9}$=41，
∴BD=$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具