Question

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=acosC+3bsin（B+C）．
（1）若$\frac{c}{b}=\sqrt{3}$，求角A；
（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）过B作BD⊥AC，则b=acosC+ccosA，结合条件可得3bsinA=ccosA，得出tanA；
（2）根据面积公式和$\frac{c}{b}=\sqrt{3}$计算b，c，再利用余弦定理得出a．

解答 解：（1）在△ABC中，过B作BD⊥AC，则b=AD+CD=acosC+ccosA．
∵b=acosC+3bsin（B+C）=acosC+3bsinA，
∴3bsinA=ccosA，∴$\frac{c}{b}$=3tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{4}bc$=$\sqrt{3}$，
∴bc=4$\sqrt{3}$，
∵c=$\sqrt{3}b$，∴b=2，c=2$\sqrt{3}$．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=4+12-12=4．
∴a=2．

点评 本题考查了，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．