Question

14．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$a=2，c=\sqrt{19}$，$tanA+tanB=\sqrt{3}-\sqrt{3}tanAtanB$，则△ABC的面积S_△ABC=（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意和正切函数变形和三角形的内角和可得C值，由余弦定理可得b值，代入三角形面积公式可得．

解答 解：△ABC中，∵$tanA+tanB=\sqrt{3}-\sqrt{3}tanAtanB$
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=\sqrt{3}=tan（A+B）$，∴$A+B=\frac{π}{3}$，
∴$C=\frac{2π}{3}$，又由余弦定理可得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{2π}{3}$，
代入a=2，$c=\sqrt{19}$可得19=4+b²+2b，
整理可得b²+2b-15=0，解得b=3或b=-5（舍去），
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和和差角的三角函数公式，属中档题．