Question

【题目】已知椭圆E的方程： ，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP交圆P与另一点N．

（1）求圆P的标准方程；
（2）若点A在椭圆E上，求使得 取得最小值的点A的坐标；
（3）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆E的方程： ，得M（﹣10，0），C（﹣2，0））

设点P（m，n），则有 ，

又： ，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），）

所以

所以圆P的标准方程为（x+6）2+（y+4）2=32

（2）解：∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）

设A（x，y），∴ ，∴ ∴ ，

得x=﹣6，y=﹣4时，∴ 最小

经检验，点A在椭圆 上∴A（﹣6，﹣4）

（3）解：设直线l：y=k（x﹣10），即直线与圆相交

所以圆心P到直线l的距离

得

得

【解析】（1）设点P（m，n），利用 ，以及椭圆方程求出m，n，然后求出半径，即可求解圆的方程．（2）由题意求出N的坐标，设A（x，y），表示出 ，求出最小值时点A的坐标．（3）设直线l：y=k（x﹣10），利用直线与圆相交，圆心P到直线l的距离小于半径，列出不等式求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．