【题目】设函数.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,先根据曲线在点
处的切线方程为
求出m=1,n=0,再利用导数求函数f(x)的单调区间.(2)第(2)问,先把原命题转化为函数
对任意
恒成立,再利用导数求函数H(x)的单调性,检验每一种情况下H(x)的最大值是否小于零.
试题解析:
(1)函数定义域为
.
得
,
,即
所以
.所以
,
.函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(2)由题得函数对任意
恒成立,
即不等式对任意
恒成立.
又,当
即
恒成立时,
函数递减,设
,则
,所以
,即
,符合题意;
当时,
恒成立,此时函数
单调递增.于是不等式
对任意
恒成立,不符合题意;
当时,设
,
则
;
当时,
,此时
单调递增,
,
故当时,函数
递增.于是当
时,
成立,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为:
.
点睛:本题的难点在于得到后如何解不等式
>0或
<0,只有解出了不等式才能得到函数H(x)的单调区间.本题利用了再构造再求导的方法(即二次求导).当我们求出函数f(x)的导数
之后,如果
不易解出,可以利用二次求导找不等式的解集,从而找到原函数的单调性.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ).
(1)求C的直角坐标方程;
(2)直线l: (t为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于点E,求|EA|+|EB|.
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【题目】已知椭圆E的方程: ,P为椭圆上的一点(点P在第三象限上),圆P 以点P为圆心,且过椭圆的左顶点M与点C(﹣2,0),直线MP交圆P与另一点N.
(1)求圆P的标准方程;
(2)若点A在椭圆E上,求使得 取得最小值的点A的坐标;
(3)若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q,使∠MQN为钝角,求直线l斜率的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,且函数g(x)=loga(x2+x+2)(a>0,且a≠1)在[﹣
,1]上的最大值为2,若对任意x1∈[﹣1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣ ]
B.(﹣∞, ]
C.[ ,+∞)
D.[﹣ ,+∞]
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本,监测值茎叶图(十位为茎,个位为叶)如图所示,若从这6天的数据中随机抽出2天,
(1)求恰有一天空气质量超标的概率;
(2)求至多有一天空气质量超标的概率.
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【题目】求函数y=的值的程序框图如图所示.
(1)指出程序框图中的错误,并写出算法;
(2)重新绘制解决该问题的程序框图,并回答下面提出的问题.
①要使输出的值为正数,输入的x的值应满足什么条件?
②要使输出的值为8,输入的x值应是多少?
③要使输出的y值最小,输入的x值应是多少?
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