Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+3
（1）若f′（-1）=4，求a的值；
（2）若a≠0，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），从而令f′（-1）=a（-1-2）=4；从而解得；
（2）a≠0时，先求定义域，再求导f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），从而讨论导数的正负以确定函数的单调增区间．

解答： 解：（1）∵f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
∴f′（-1）=a（-1-2）=4；
故a=-

4

3

；
（2）a≠0时，
f（x）=alnx-2ax+3的定义域为（0，+∞），
f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
当a＜0时，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

时，f′（x）＞0，

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；
故函数f（x）的单调增区间为（

1

2

，+∞）；
当a＞0时，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

时，f′（x）＜0；

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调增区间（0，

1

2

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于中档题．