Question

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．

(1)求该抛物线的方程；

(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x0＋2，－y0)．

 

Answer 1

（1）y2＝2x （2）见解析

【解析】(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由抛物线的定义可得＋＝1，即p＝1，

∴抛物线的方程为y2＝2x．

(2)证明：由题意知，直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x＝ay＋n，代入y2＝2x得y2－2ay－2n＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝2a，y1y2＝－2n，

∵MP⊥MQ，∴kMP·kMQ＝－1．

即·＝－1，∴(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4．

即y1·y2＋(y1＋y2)y0＋y02＋4＝0，

即(－2n)＋2ay0＋2x0＋4＝0，即n＝ay0＋x0＋2．

∴直线PQ的方程为x＝ay＋ay0＋x0＋2，

即x＝a(y＋y0)＋x0＋2，它一定过定点(x0＋2，－y0)．