Question

19．己知tanα，tanβ是关于x的方程x²-5mx+4=0的两个实根（m∈R），且α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$ k∈Z），求sin²（α+β）+$\frac{1}{2}$msin（2α+2β）的取值范围．

Answer 1

分析 由韦达定理和两角和的正切可得tan（α+β）=-$\frac{5}{3}$m，把m代入已知式子化简可得sin²（α+β）+$\frac{1}{2}$msin（2α+2β）=$\frac{1}{5}$[1-cos2（α+β）]，由余弦函数的值域可得．

解答 解：∵tanα，tanβ是关于x的方程x²-5mx+4=0的两个实根，
∴由韦达定理可得tanα+tanβ=5m，tanαtanβ=4，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{5m}{1-4}$=-$\frac{5}{3}$m，
又sin²（α+β）+$\frac{1}{2}$msin（2α+2β）
=sin²（α+β）+msin（α+β）cos（α+β）
=sin（α+β）[sin（α+β）+mcos（α+β）]
=sin（α+β）[sin（α+β）-$\frac{3}{5}$tan（α+β）cos（α+β）]
=sin（α+β）[sin（α+β）-$\frac{3}{5}$sin（α+β）]
=$\frac{2}{5}$sin²（α+β）=$\frac{1}{5}$[1-cos2（α+β）]
∴当2（α+β）=2kπ即α+β=kπ，k∈Z时，原式取最小值0；
当2（α+β）=2kπ+π即α+β=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，原式取最大值2
但由已知α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$ k∈Z），故原式的取值范围为[0，2）

点评 本题考查和差角的三角函数公式，涉及韦达定理和三角函数的值域，属中档题．