Question

11．设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）当a=2时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；
（2）试讨论f（x）的奇偶性；
（3）当x∈R时．求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=x²+|x-2|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+3，x≤2}\\{{x}^{2}+x-1，x＞2}\end{array}\right.$，从而判断函数的奇偶性及求函数的最小值；
（2）可知f（-x）=x²+|x+a|+1，从而可知若函数为偶函数，则|x+a|=|x-a|，从而解得，不说明a≠0时的情况即可；
（3）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最小值．

解答 解：（1）当a=2时，
f（x）=x²+|x-2|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+3，x≤2}\\{{x}^{2}+x-1，x＞2}\end{array}\right.$，
∵f（-2）=9，f（2）=5；
∴函数f（x）是非奇非偶函数；
当x≤2时，x=$\frac{1}{2}$时有最小值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{4}$；
当x＞2时，f（x）＞f（2）=5；
故函数的最小值为$\frac{11}{4}$．
（2）∵f（x）=x²+|x-a|+1，
∴f（-x）=x²+|x+a|+1，
若函数为偶函数，
|x+a|=|x-a|，
解得，a=0；
当a≠0时，x²+|x-a|+1≠x²+|x+a|+1，
故函数为非奇非偶函数；
综上所述，当a=0时，函数为偶函数；
当a≠0时，函数为非奇非偶函数；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$；
①当a＜$-\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，a）上是减函数，故f（x）＞f（a）=a²+1；
在（a，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（-$\frac{1}{2}$）=-a+$\frac{3}{4}$；
②当-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（a）=a²+1；
③当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（x）有最小值f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{3}{4}$；
综上所述，当a＜$-\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值f（-$\frac{1}{2}$）=-a+$\frac{3}{4}$；
当-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值f（a）=a²+1；
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简与判断都比较困难，属于难题．