Question

1．f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若对任意的m，n∈[-1，1]时，有f（m）+f（n）＜m+n．
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是单调增函数；
（2）解不等式f（x-1）+f（2x-3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，根据条件便可得到f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂＜0，从而得出f（x₁）＜f（x₂），这样便证出f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）根据f（x）为奇函数便可得到f（x-1）＜f（2x-3），再根据f（x）的定义域及单调性便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤2x-3≤1}\\{x-1＜2x-3}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）证明：根据条件，设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）＜x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上是单调增函数；
（2）由f（x-1）+f（2x-3）＜0得，f（x-1）＜f（-2x+3）；
∵f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤-2x+3≤1}\\{x-1＜-2x+3}\end{array}\right.$；
解得$1≤x＜\frac{4}{3}$；
∴原不等式的解集为[1，$\frac{4}{3}$）．

点评 考查奇函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差比较f（x₁）与f（x₂）的方法，以及根据增函数的定义解不等式．